#CSPS2018E. [NOIP2018 提高组] 填数游戏

[NOIP2018 提高组] 填数游戏

题目背景

NOIP2018 提高组 D2T2

题目描述

小 D 特别喜欢玩游戏。这一天,他在玩一款填数游戏。

这个填数游戏的棋盘是一个 n×mn \times m 的矩形表格。玩家需要在表格的每个格子中填入 一个数字(数字 00或者数字 11),填数时需要满足一些限制。

下面我们来具体描述这些限制。

为了方便描述,我们先给出一些定义:

  • 我们用每个格子的行列坐标来表示一个格子,即(行坐标,列坐标)。(注意: 行列坐标均从 00 开始编号)

  • 合法路径 PP:一条路径是合法的当且仅当:

    1. 这条路径从矩形表格的左上角的格子(0,0)(0,0)出发,到矩形的右下角格子 (n1,m1)(n - 1,m - 1)结束;
    2. 在这条路径中,每次只能从当前的格子移动到右边与它相邻的格子,或者 从当前格子移动到下面与它相邻的格子。 例如:在下面这个矩形中,只有两条路径是合法的,它们分别是P1P_1(0,0)(0,0)(0,1)(0,1)(1,1)(1,1)P2P_2(0,0)(0,0)(1,0)(1,0)(1,1)(1,1)

对于一条合法的路径 PP,我们可以用一个字符串w(P)w(P)来表示,该字符串的长度为n+m2n + m - 2,其中只包含字符“RR”或者字符“DD”, 第 ii 个字符记录了路径P P 中第 ii 步的移动 方法,“ RR”表示移动到当前格子右边与它相邻的格子,“ DD”表示移动到当前格子下面 与它相邻的格子。例如,上图中对于路径 P1P_1,有 w(P1)=w(P_1) = "RDRD";而对于另一条路径 P2P_2, 有w(P2)=w(P_2) = "DRDR"。

同时,将每条合法路径 PP 经过的每个格子上填入的数字依次连接后,会得到一个长 度为n+m1n + m - 10101 字符串,记为 s(P)s(P)。例如,如果我们在格子(0,0)(0,0)(1,0)(1,0)上填入数字 00,在格子(0,1)(0,1)(1,1)(1,1)上填入数字 1(见上图红色数字)。那么对于路径P1P_1,我们可以得 到s(P1)=s(P_1) = "011011",对于路径P2P_2,有s(P2)=s(P_2) = "001001"。

游戏要求小 D 找到一种填数字0 01 1 的方法,使得对于两条路径P1P_1P2P_2,如果w(P1)>w(P2)w(P_1) > w(P_2),那么必须s(P1)s(P2)s(P_1) ≤ s(P_2)。我们说字符串 aa 比字符串 bb 小,当且仅当字符串 aa 的字典序小于字符串 bb 的字典序,字典序的定义详见第一题。但是仅仅是找一种方法无法满 足小 D 的好奇心,小 D 更想知道这个游戏有多少种玩法,也就是说,有多少种填数字 的方法满足游戏的要求?

小 D 能力有限,希望你帮助他解决这个问题,即有多少种填 0011 的方法能满足题目要求。由于答案可能很大,你需要输出答案对 109+710^9 + 7 取模的结果。

输入格式

输入文件共一行,包含两个正整数 n,mn,m,由一个空格分隔,表示矩形的大小。其 中 nn 表示矩形表格的行数,mm 表示矩形表格的列数。

输出格式

输出共一行,包含一个正整数,表示有多少种填 0011 的方法能满足游戏的要求。 注意:输出答案对 109+710^9+7 取模的结果。

样例 #1

样例输入 #1

2 2

样例输出 #1

12

样例 #2

样例输入 #2

3 3

样例输出 #2

112

样例 #3

样例输入 #3

5 5

样例输出 #3

7136

提示

【样例解释】

【数据规模与约定】