#CSPS2019F. [CSP-S2019 提高组] 树的重心

[CSP-S2019 提高组] 树的重心

题目描述

小简单正在学习离散数学,今天的内容是图论基础,在课上他做了如下两条笔记:

  1. 一个大小为 nn 的树由 nn 个结点与 n1n − 1 条无向边构成,且满足任意两个结点间有且仅有一条简单路径。在树中删去一个结点及与它关联的边,树将分裂为若干个子树;而在树中删去一条边(保留关联结点,下同),树将分裂为恰好两个子树。
  2. 对于一个大小为 nn 的树与任意一个树中结点 cc,称 cc 是该树的重心当且仅当在树中删去 cc 及与它关联的边后,分裂出的所有子树的大小均不超过 n2\lfloor \frac{n}{2} \rfloor(其中 x\lfloor x \rfloor 是下取整函数)。对于包含至少一个结点的树,它的重心只可能有 1 或 2 个。

课后老师给出了一个大小为 nn 的树 SS,树中结点从 1n1 \sim n 编号。小简单的课后作业是求出 SS 单独删去每条边后,分裂出的两个子树的重心编号和之和。即:

$$\sum_{(u,v) \in E} \left( \sum_{1 \leq x \leq n \atop 且 x 号点是 S'_u 的重心} x + \sum_{1 \leq y \leq n \atop 且 y 号点是 S'_v 的重心} y \right) $$

上式中,EE 表示树 SS 的边集,(u,v)(u,v) 表示一条连接 uu 号点和 vv 号点的边。SuS'_uSvS'_v 分别表示树 SS 删去边 (u,v)(u,v) 后,uu 号点与 vv 号点所在的被分裂出的子树。

小简单觉得作业并不简单,只好向你求助,请你教教他。

输入格式

本题包含多组测试数据

第一行一个整数 TT 表示数据组数。

接下来依次给出每组输入数据,对于每组数据:

第一行一个整数 nn 表示树 SS 的大小。

接下来 n1n − 1 行,每行两个以空格分隔的整数 uiu_iviv_i,表示树中的一条边 (ui,vi)(u_i,v_i)

输出格式

TT 行,每行一个整数,第 ii 行的整数表示:第 ii 组数据给出的树单独删去每条边后,分裂出的两个子树的重心编号和之和。

样例 #1

样例输入 #1

2
5
1 2
2 3
2 4
3 5
7
1 2
1 3
1 4
3 5
3 6
6 7

样例输出 #1

32
56

提示

【样例 1 解释】

对于第一组数据:

删去边 (1,2)(1,2),1 号点所在子树重心编号为 {1}\{1\},2 号点所在子树重心编号为 {2,3}\{2,3\}

删去边 (2,3)(2,3),2 号点所在子树重心编号为 {2}\{2\},3 号点所在子树重心编号为 {3,5}\{3,5\}

删去边 (2,4)(2,4),2 号点所在子树重心编号为 {2,3}\{2,3\},4 号点所在子树重心编号为 {4}\{4\}

删去边 (3,5)(3,5),3 号点所在子树重心编号为 {2}\{2\},5 号点所在子树重心编号为 {5}\{5\}

因此答案为 1+2+3+2+3+5+2+3+4+2+5=321 + 2 + 3 + 2 + 3 + 5 + 2 + 3 + 4 + 2 + 5 = 32

【数据范围】

测试点编号 n=n = 特殊性质
121 \sim 2 77
353 \sim 5 199199
686 \sim 8 19991999
9119 \sim 11 4999149991 A
121512 \sim 15 262143262143 B
1616 9999599995
171817 \sim 18 199995199995
192019 \sim 20 299995299995

表中特殊性质一栏,两个变量的含义为存在一个 1n1 \sim n 的排列 pi(1in)p_i (1 \leq i \leq n),使得:

  • A:树的形态是一条链。即 1i<n\forall 1 \leq i \lt n,存在一条边 (pi,pi+1)(p_i, p_{i + 1})
  • B:树的形态是一个完美二叉树。即 1in12\forall 1 \leq i \leq \frac{n-1}{2} ,存在两条边 (pi,p2i)(p_i, p_{2i})(pi,p2i+1)(p_i, p_{2i+1})

对于所有测试点:1T5,1ui,vin1 \leq T \leq 5 , 1 \leq u_i,v_i \leq n。保证给出的图是一个树。